Jól hangolt matematika

A szerszámkészítők egyetértenek abban, hogy jó munkához jó szerszám kell, egy precíz mérőeszköz elkészítéséhez még precízebb műszerek kellenek. Ugyanez a felállás a zenében is: jó muzsikához jó hangszerek is kellenek. Természetesen hozzáértő munkás is kell a jó eszközhöz, ugyanígy jó muzsikus is egy kitűnő hangszerhez.

Rendkívül izgalmas jelenség a zene történetében a hangolás kérdése. Már az ókorban szembesültek a zenészek egy érdekes ellentmondással: 12 egymásra épített tiszta kvint hangköz és 7 egymásra épített oktáv hangköz nem tökéletesen egyforma, pedig az ésszerűségből kiindulva egyformáknak kellene lenniük. Mivel a híres matematikus – és zenész –, Püthagorasz is sokat foglalkozott ezzel a paradoxonnal, a két óriási hangköz közötti kis eltérést (amit mindkét esetben a két szélső hang ad) róla nevezték el püthagoraszi kommának. Bár minimális az eltérés (csekély egyszázadnyi, ha frekvenciaviszonyokban gondolkozunk), mégis egyes hangszerek behangolásakor különösen zavaró tényező volt.

A hangszerek és a zene fejlődése egy idő után szükségessé tette e kis eltérés kiegyenlítését. A barokk idején zenészek és matematikusok közös erőfeszítései révén kisebb kompromisszumok árán kialakult az úgynevezett jól temperált hangolás. Ezt Európában Andreas Werckmeister (1645–1706) vezette be elsőként. Ezzel ledőltek az addigi korlátok, amelyek a komponisták képzelőerejét kordában tartották. Az előző hangolások mindig csak egyetlen hangnemben szóltak tisztán, ezért szinte lehetetlen volt zene közben más hangnemre váltani, a zenészek csak a hangnem keretei között mozoghattak. A jól temperált hangolásnak köszönhetően lehetővé vált a hangnemek közötti váltás, ami hihetetlen változatosságot kínált a zeneszerzőknek. Úgy is mondhatnánk, hogy előzőleg egyszerre csak egyetlen színárnyalatot használhatott a szerző, a hangolás megváltoztatása után pedig minden szín a rendelkezésére állt. Johann Sebastian Bach a Das Wohltemperierte Klavier című monumentális művében zeneileg bebizonyította a jól temperált hangolás előnyeit, és egyúttal azt is érzékeltette, hogy a különböző hangnemeknek más-más karakterük van.

Joseph Sauveur (1653–1716) különösen érdekes figurája a matematikának, a fizikának és a zenének. Fogyatékos gyerekként született, halláskárosodása miatt hétéves koráig néma maradt. Szülei nem mondtak le róla, hanem színvonalas jezsuita iskolába íratták. Tizenhét évesen már filozófiát és teológiát tanult Párizsban. Az egyetemen fedezte fel az euklideszi matematika különleges szépségeit. Annyira kedvét lelte a matematikában, hogy hamarosan professzora lett ennek a tudománynak és a fizikának is. Úgy tekintettek rá, mint a francia hidraulika atyjára. Gyermekkori fogyatékosságától nem szabadult meg teljes mértékben, mert nem volt képes emlékezetből elmondani előadásait, de tekintettel nagy tudására, megengedték neki, hogy felolvassa jegyzeteit. Szorgalmas lévén, hatalmas tudással rendelkezett, így nem véletlen, hogy a Francia Tudományos Akadémia tagjává vált. Valószínű, hogy nemcsak jó tudós, hanem jó pedagógus is volt, ugyanis nála tanultak a kor hercegei, főnemesek gyermekei, közöttük Savoyai Jenő (Eugene-François de Savoie-Carignano) hadvezér is.

Talán a sors különös szeszélyének is köszönhető, hogy kapcsolatba került a zenével. Mint már említettem, alig hinné az ember, hogy hallássérültként valaki ezzel foglalkozzon. A hercegek oktatása során kapcsolatba került egy zenepedagógussal, Étienne Louliéval, akitől elsajátította a zeneelmélet alapjait. Később közös erővel arra törekedtek, hogy a királyi sarjaknak bebizonyítsák a matematika és a zene szoros kapcsolatát. Érdekes módon a közös törekvés által Joseph Sauveur alaposan elmélyült a zeneelméletben, sőt hamarosan megalapozta a „hang tudományát”, az akusztikát – ő vezette be a tudományok sorába az akusztika kifejezést.

Akusztikai törekvései során ő is szembesült a hangolás furcsaságával, és matematikai számításokkal igyekezett elősegíteni a hangolás problémájának megoldását. Bevallása szerint egy ismeretlen világ tárult fel előtte, amint beleásta magát a hangok tudományába. Egyes vélemények szerint ő fedezte fel a felhangsort is (a felhangok vagy részhangok intenzitásától függ a hangszín, amely által különbséget tudunk tenni a hangszerek hangja között). Egy olyan ember, aki alig hallott, óriási ajándékkal lepte meg az emberiséget és a muzsikusokat. Ő nem hallotta, csak értette a zenét, de ezáltal nagy szolgálatot tett a tudománynak.

Ha a zene annyira mellékes tudomány lenne, nem röppentette volna szárnyra egy alig halló ember képzeletét. De mivel nemcsak szépség, hanem ésszerűség is van ebben a tudományban, Sauveur érdemesnek látta energiát fektetni olyasvalamibe, amit ő csak képzeletben élvezhetett. A matematikát használta fel a zenei hangolás finomítására, ezért finoman hangolt világ a matematika is.

A jól temperált hangolás mellett később megjelent egy még pontosabb hangolási eljárás, a kiegyenlített hangolás, amelyet másképp bevezetőjéről, Kirnbergerről neveztek el. Ez azt jelenti, hogy azt a bizonyos minimális eltérést egyenletesen elosztották a tizenkét félhang között, így már észrevehetetlen a tisztátalanság a hangközök esetében.

A jól temperált és kiegyenlített hangolás következtében eltűntek a hangnemi korlátok a zeneszerzők elől. Ebből már ésszerűen következik egy zenei hatás: megszületik a szonáta forma. A szonáta formának pedig épp az az érdekessége, hogy az alaphangnem mellett több más hangnemet is érint, tehát bemutatja a hangnemek közötti átjárás érdekességeit. Ez teszi meséssé a „fikció erdejét”.

A magyar népzene különlegessége a kvintváltás. Ezek az énekek zseniális módon a hangnemi korlát keretein belül imitálnak egy új hangnembe való kitérést és visszatérést. A kvintváltó magyar népdal tehát szerkezetileg némileg hasonlít a szonáta formához, ugyanis mindkettőben van hangnemi kitérés, gyakran öt hanggal fennebb, vagy szakszóval domináns hangnemben. Természetesen nem kell arra gondolnunk, hogy a magyar népdalok eme csoportja ihlette a szonáta forma megalkotóit, de büszkék lehetünk népi kultúránknak az ilyen remekléseire. Mivel a népdal egy nép ösztönös lelki-zenei megnyilvánulása, biztonsággal kijelenthetjük, hogy a kvintváltás is egyféle sűrített kifejezése a harmóniai változatosság szükségességének, amelyet a spontán dallamalkotásban fejeztek ki a népi szerzők.

És ha már népdalaink rendelkeznek az ösztönös zsenialitás csírájával, semmiképp sem szabad megfeledkeznünk róluk, sőt ismernünk, tudnunk kell minél többet közülük, mert ha lélekből énekeljük népdalainkat, akaratlanul magunkba szívjuk ezt a zenében rejlő ősésszerűséget.

Íme tehát: a zenében ott a matematika, a matematikában ott a zene, mindkettőben ott a zsenialitás. Érdemes tehát tisztelettel tekintenünk ezekre a tudományokra is, mert – mint Newton mondta – a zene a kulcs a világmindenség megértéséhez. Csak rajtunk áll, hogy akarjuk-e érteni!

Szilágyi Mihály